Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;1;2)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng $(P)$ cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$. Thể tích tứ diện $OABC$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;1;2)$ và cách $O$ một khoảng lớn nhất phải vuông góc với $OM$ tại $M$, nên có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{OM}=(1;1;2)$, phương trình: $1(x-1)+1(y-1)+2(z-2)=0\iff x+y+2z=6$. Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d=\frac{6}{\sqrt{1+1+4}}=\sqrt{6}$, đúng là lớn nhất (vì với mọi mặt phẳng qua $M$, khoảng cách từ $O$ không vượt quá $OM=\sqrt{6}$). Giao với các trục: $A(6;0;0)$, $B(0;6;0)$, $C(0;0;3)$. Thể tích tứ diện $OABC=\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}\cdot 6\cdot 6\cdot 3=18$.