Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng 1. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;1;0)$, $B(2;-1;2)$, $C(4;0;-1)$. Điểm $D(x;y;z)$ thỏa mãn $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$ và $S_{ABCD}=4S_{ABC}$. Giá trị của biểu thức $x+y+z$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là mét và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi mặt đất là bằng phẳng). Một flycam xuất phát từ điểm $A(-30;4;2)$ và chuyển động thẳng đều đến điểm $B(170;104;202)$ với tốc độ 6 m/s. Cùng lúc flycam xuất phát từ điểm $A$, một người đi bộ xuất phát từ điểm $C(-10;-3;0)$ chuyển động thẳng đều đến điểm $D(20;37;0)$ trên mặt đất với tốc độ 1 m/s.

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1;-2;0)$, $\vec{b}=(-5;4;-1)$. Tọa độ của vectơ $2\vec{a}-\vec{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-1;0;3)$, $B(4;2;0)$, $C(3;1;-3)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=2AB$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CD}$. Gọi $F$ là điểm thuộc đoạn thẳng $A{B}^{\prime }$ sao cho $A^{\prime }F$ vuông góc với $A^{\prime }E$. Tính tỷ số $\frac{FA}{F{B}^{\prime }}$.

b) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Cho biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $a$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\alpha$, với $\cos \alpha =\frac{1}{3\sqrt{2}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.