Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;1;0)$, $B(2;-1;2)$, $C(4;0;-1)$. Điểm $D(x;y;z)$ thỏa mãn $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$ và $S_{ABCD}=4S_{ABC}$. Giá trị của biểu thức $x+y+z$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;2)$, $|AB|=3$. Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$ nên $\overrightarrow{CD}$ song song với $\overrightarrow{AB}$ và do thứ tự đỉnh $A\to B\to C\to D$, đáy $CD$ phải ngược hướng với $AB$: $\overrightarrow{CD}=-t\overrightarrow{AB}$ với $t>0$, tức $|CD|=3t$.

Gọi $h$ là khoảng cách từ $C$ (hoặc $D$) đến đường thẳng $AB$. Diện tích tam giác $S_{ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot h=\frac{3h}{2}$. Diện tích hình thang $S_{ABCD}=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{3+3t}{2}h$.

Điều kiện $S_{ABCD}=4S_{ABC}$: $\frac{3+3t}{2}h=4\cdot \frac{3h}{2}=6h\Rightarrow 3+3t=12\Rightarrow t=3$.

Vậy $\overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}=(3;6;-6)$, suy ra $D=C+(3;6;-6)=(4+3;0+6;-1-6)=(7;6;-7)$.

Kiểm tra: $|CD|=\sqrt{9+36+36}=9$, $S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}h=6h=4S_{ABC}$ đúng.

Do đó $x+y+z=7+6-7=6$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.