Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là một tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm của $BC$. Cho $SA=2$ và $SA$ hợp với đáy một góc $30^{\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $BC$, là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$. Vì $SA=2$ và $SA$ hợp với đáy góc $\widehat{SAH}=30^{\circ }$ nên $SH=SA\sin 30^{\circ }=1$, $AH=SA\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}$ (đúng bằng đường cao tam giác đều cạnh 2). Tam giác $SAH$ vuông tại $H$. Ta có $BC\perp AH$ (vì $AH$ là đường cao tam giác đều) và $BC\perp SH$ (vì $SH\perp (ABC)$), suy ra $BC\perp (SAH)$. Khi đó khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $SA$ và $BC$ là $d(SA,BC)=d(BC,(SAH))=d(H,SA)$. Trong tam giác vuông $SAH$, khoảng cách từ $H$ đến cạnh huyền $SA$ là $d=\frac{SH\cdot AH}{SA}=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kiểm tra bằng tọa độ: $H(0;0;0)$, $S(0;0;1)$, $A(0;\sqrt{3};0)$, $B(-1;0;0)$, $C(1;0;0)$, ${\vec{u}}_{SA}=(0;-\sqrt{3};-1)$, ${\vec{u}}_{BC}=(1;0;0)$, $[{\vec{u}}_{SA},{\vec{u}}_{BC}]=(0;-1;\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AB}=(1;-\sqrt{3};0)$, khoảng cách $=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot [{\vec{u}}_{SA},{\vec{u}}_{BC}]|}{|[{\vec{u}}_{SA},{\vec{u}}_{BC}]|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn A.