Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-1;0;3)$, $B(4;2;0)$, $C(3;1;-3)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=2AB$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CD}$. Gọi $F$ là điểm thuộc đoạn thẳng $A{B}^{\prime }$ sao cho $A^{\prime }F$ vuông góc với $A^{\prime }E$. Tính tỷ số $\frac{FA}{F{B}^{\prime }}$.

b) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Cho biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $a$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\alpha$, với $\cos \alpha =\frac{1}{3\sqrt{2}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.

Treo một vật nặng có trọng lượng $60N$ bởi ba sợi dây giống hết nhau, các sợi dây có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau một góc $90^{\circ }$ như hình bên. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là các lực căng của ba sợi dây nói trên. Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$ bằng bao nhiêu Niuton? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;3;-1)$, $B(2;3;2)$, $C(-1;0;2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ để $S=\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6m$, $AE=5m$; $AD=8m$; $QT=7m$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2m$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;2;-1),B(-1;-x;1),C(7;-1;y)$. Khi $A,B,C$ thẳng hàng, giá trị $x+2y$ bằng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{u}$, $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\vec{v}$, $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\vec{x}$, $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\vec{y}$. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?