Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(222;565;8)$ chuyển động theo đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}(91;75;0)$ và hướng về phía có đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $M(a;b;c)$. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu?
[IMAGE_1]

Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính $450\text{ km}$ và chiều cao $30\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $Oz$ hướng lên cao và gốc tọa độ $O$ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên dưới), mỗi đơn vị trên trục là $1\text{ km}$. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí $A(30;-780;60)$, dự định bay thẳng với vận tốc không đổi $7\text{ km/giaˆy}$ hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)
[IMAGE_1]

Để xác định vị trí của một địa điểm trên trái đất, một người đã chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị trên trục bằng với bán kính của trái đất. Biết vị trí một điểm nằm trên bề mặt của trái đất là $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$. Nếu xuyên từ điểm $M$ vào lòng đất, theo đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-1/2}{1}=\frac{y-\sqrt{3}/2}{-1}=\frac{z}{1}$, thì người này xác định được vị trí của điểm $N$ nằm trên mặt đất. Khi đó điểm $N$ cách điểm $A\left(\frac{1}{6};\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$ bao nhiêu nghìn km (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)? Sử dụng số đo bán kính trái đất là $64000\text{ km}$.

Cho mặt cầu $S(O;R)$ và đường thẳng $\Delta$. Biết $\Delta$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ tại hai điểm $A,B$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $\Delta$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $3$ đường thẳng $(d_1):\{\begin{array}{l}x=1+2t_1\\ y=1+t_1\\ z=1-2t_1\end{array}$; $(d_2):\{\begin{array}{l}x=3+t_2\\ y=-1+2t_2\\ z=2+2t_2\end{array}$ và $(d_3):\{\begin{array}{l}x=4+2t_3\\ y=4-2t_3\\ z=1+t_3\end{array}$. Mặt cầu $S(I;R)$ tâm $I$ bán kính $R$ tiếp xúc với $3$ đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của $R$ gần số nào nhất trong các số sau?

Một trạm X có chức năng thu phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là $2\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1\text{ km}$. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường có dạng đường thẳng $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=\sqrt{3}\end{array}$. Quãng đường mà bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu $\text{km}$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y + 1 =0 và đường thẳng
 x = 2t

d :  y = 1 + t . Số điểm chung của đường thẳng d và mặt cầu ( S ) là
 z= 2 - t
