Tính $I=\int \left(\cos x+x-1\right)\mathrm{d}x$.

Bốn hình tròn được nối với nhau bởi các đường thẳng như hình vẽ. Mỗi hình tròn được tô một trong ba màu: đỏ, cam, vàng. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu các hình tròn sao cho không có hai hình tròn nào được nối với nhau bởi một đường thẳng có màu giống nhau?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$. Tính $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(-6;3;3)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=a^2+b^2+c^2$ bằng

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$ với $M$ là trung điểm cạnh $SD$. Co-sin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BM$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3AC$. Trên cạnh $C{C}^{\prime }$ lấy điểm $E$ sao cho $2E{C}^{\prime }=3EC$. Khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BE)$ bằng $6cm$. Gọi $d=(A^{\prime }BE)\cap (ABC)$, số đo của góc nhị diện $[A^{\prime },d,A]$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$, trong đó $a\perp (P)$. Mệnh đề nào sau đây là sai?