Nếu $I={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x-\cos x}{1+\sin 2x}dx=\frac{a}{b}\ln c$ (với $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $\frac{a}{b}$ tối giản) thì $a+2b+3c$ là

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_2^{5}f(x)\text{d}x=7$. Giá trị của ${\int }_0^{5}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho ${\int }_2^{4}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_2^{4}g(x)\text{d}x=1$. Khi đó ${\int }_2^4\left[f(x)+g(x)\right]\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[1;3]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, đường thẳng $x=1$, đường thẳng $x=3$ và trục hoành là

Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}2\sin x\text{d}x=a+b\sqrt{3}$ $(a,b\in \mathbb{Z})$. Tính $a+b$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=1$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 1)$ thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $x$ và $(x+1)$.

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt nhau tại hai điểm $A(1;2)$ và $B(3;4)$ như hình dưới.
[IMAGE:img_p2_q1]

Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\frac{100}{57}$.