Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng $r=2\text{ m}$, chiều cao $h=8\text{ m}$. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi $V$ là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính $V$.

Cho hình trụ $(T)$ có chiều cao bằng đường kính đáy, hai đáy là các hình tròn $(O;r)$ và $(O^{\prime };r)$. Gọi $A$ là điểm di động trên đường tròn $(O;r)$ và $B$ là điểm di động trên đường tròn $(O^{\prime };r)$ sao cho $AB$ không là đường sinh của hình trụ $(T)$. Khi thể tích khối tứ diện $O{O}^{\prime }AB$ đạt giá trị lớn nhất thì đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng

Một khối trụ có bán kính đáy bằng 2 và khối cầu ngoại tiếp khối trụ đó có thể tích bằng $\frac{125\pi }{6}$. Tính thể tích khối trụ.

Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB=BC=1,AD=2$, cạnh bên $SA=1$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E$ là trung điểm $AD$. Khi đó diện tích $S_{mc}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE$ là

Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng $a$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là hình tròn tâm $H$ (giao của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in \mathbb{Z}$. Tính $S=b+c+d$.

Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm $O$, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng $72\pi$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.