Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-{\log }_2(2^{x-1}+y)=2y-x$ và $2\le y\le 2022$?

Phương trình tương đương $2^x+x=2y+{\log }_2(2^{x-1}+y)=(2^{x-1}+y+{\log }_2(2^{x-1}+y))-2^{x-1}+y$, viết lại $2^{x-1}+(x-1)=(2^{x-1}+y)+{\log }_2(2^{x-1}+y)$... Thực chất $2^x+x=2(2^{x-1}+y)+{\log }_2(2^{x-1}+y)-2^{x-1}$, hay $2^x+x=2^{{\log }_2(2^{x-1}+y)+1}+({\log }_2(2^{x-1}+y)+1)-1$, chuẩn hóa $2^{x-1}+(x-1)=(2^{x-1}+y)+{\log }_2(2^{x-1}+y)\iff x-1={\log }_2(2^{x-1}+y)\iff 2^{x-1}=2^{x-1}+y$ (vô nghiệm) — hoặc biến đổi $2^x+x-1=2(2^{x-1}+y)+{\log }_2(2(2^{x-1}+y))$? Đúng vậy: $2^x+x=2y+{\log }_2(2^{x-1}+y)$... Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 001: Chọn D ($10$).