Cho $\log 3=a$, $\log 5=b$. Tính giá trị của ${\log }_{135}30$ theo $a,b$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

Cho hàm số $y={\log }_{\sqrt{2}}x$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Khối bát diện đều (như hình vẽ bên dưới) thuộc loại nào?

Với $a$ và $b$ là các số thực dương và $a\ne 1$. Biểu thức ${\log }_a(a^{2}b)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Cho số thực dương $a,b$. Rút gọn biểu thức $\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}+\sqrt[3]{ab}\right)$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+5}{x+1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x+\frac{4}{x}$ trên đoạn $[1;3]$ bằng

Cho $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=-x^2+5x-6,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=-3f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3x^2}<3^{2x+1}$ là

Phương trình $(\sqrt{5}+1{)}^x+6(\sqrt{5}-1{)}^x=5\cdot 2^x$ có bao nhiêu nghiệm lớn hơn $1$?

Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos 3x$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z+5=0$ có bán kính là

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$, biết cạnh đáy có độ dài bằng $a$, cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tam giác $ABC$ với $A(1;-3;3)$, $B(2;-4;5)$, $C(a;-2;b)$ nhận điểm $G(2;c;3)$ làm trọng tâm của nó thì giá trị của tổng $a+b+c$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;3]$. Giá trị của $M^2+m^2$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3(3+2x)\ge 2$ là

Tập xác định của hàm số $y=(x^2-3x+2{)}^{-e}$ là

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như trong hình dưới đây.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Nghiệm của phương trình ${\log }_9(x+1)=\frac{1}{2}$ là

Cho hàm số $f(x)=e^{-x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3\text{ (cm)}$, $AD=5\text{ (cm)}$. Thể tích khối trụ hình thành được khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh đoạn $AB$ bằng

Cho hàm số $y=3x^4-4x^3+2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân ở $B$, cạnh $AC=2a$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABC)$, tam giác $SAB$ cân. Thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}$ là

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=a$ và bán kính đáy $r=\frac{5a}{4}$. Một mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm $O$ của đáy bằng $\frac{3a}{5}$. Diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình nón bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-{\log }_2(2^{x-1}+y)=2y-x$ và $2\le y\le 2022$?

Tính số nghiệm nguyên của bất phương trình $2{\log }_5\frac{x^2+1}{x}+2x^4-6x^2+1\le 0$.

Một công ty xây nhà xưởng dạng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là $1458{\text{ m}}^2$ và chiều cao cố định. Họ xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước bao nhiêu để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)?

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\frac{\ln (x+3)}{x^2}$ sao cho $F(-2)+F(1)=0$. Giá trị của $F(-1)+F(3)$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{2x-m}{2x+m}$ có đồ thị là $(C)$ và $m\ne 0$. Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $(C)$ với các trục $Ox,Oy$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ nhỏ hơn $2022$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình sau đây.

Hàm số $g(x)=f\left(x^2-\frac{1}{2}\right)-2\ln x$ đồng biến trên khoảng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như dưới đây.

Phương trình $f\left(|x^2-2|-3\right)=m$, với $m$ là tham số, có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Biết rằng với tất cả các giá trị của tham số $m\in [a;b)$ thì phương trình $(m-2)\cdot 3^{2x^2+2x+\frac{5}{2}}+2(m+1)\cdot 3^{x^2+x+\frac{5}{4}}+2m-6=0$ có nghiệm. Tính giá trị của $S=7b-17a$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn $2022$ của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{{\log }_{2022}(x^2-2x+m^2-4m+5)}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$?

Cho hình chóp $S.ABC$, đáy là tam giác $ABC$ có $AB=a$; $AC=a\sqrt{2}$ và $\widehat{CAB}=135^{\circ }$, tam giác $SAB$ vuông tại $B$ và tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAB)$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $SA\perp (ABC)$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ bằng $\frac{a}{\sqrt{13}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$ bằng

Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng $r=2\text{ m}$, chiều cao $h=8\text{ m}$. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi $V$ là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính $V$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+3}{bx+c}$ ($b\in \mathbb{Z},b\ne 0$) có bảng biến thiên như sau:

Tính tổng $S=a+2b+3c$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=x^4-3(m-1)x^2+m-2$ đồng biến trên khoảng $(1;5)$.