Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4\text{ m}$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh $I$ đi qua $A,B$ và cắt đường chéo $BD$ tại $M$ (tham khảo hình vẽ).

Chi phí sơn phần tô hình tổ ong (có diện tích $S_1$) là $200000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích $S_2$) là $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và phần còn lại là $120000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Số tiền cần chi trả để sơn tấm biển quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

Một khoảng sân của một ngôi nhà có hình dạng là một phần của parabol, nếu chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới thì parabol có phương trình là $y=x^2$. Chủ nhà muốn thiết kế một hồ nuôi cá cảnh có dạng hình tròn bán kính $1\text{m}$, hình tròn được thiết kế tiếp xúc với $2$ nhánh của parabol, phía trên của hình tròn ngăn bởi một bức tường mỏng tiếp xúc với hình tròn. Phần đất còn lại của khoảng sân giới hạn bởi đường tròn, $2$ nhánh của parabol và bức tường được thiết kế trồng hoa (phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới). Tính diện tích mà chủ nhà thiết kế để trồng hoa, biết rằng đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b(a<b)$ là:

Một cổng của một tòa nhà có dạng parabol gồm hai phần: phần hai cánh cửa hình chữ nhật $CDEF$, còn lại là phần xiên hoa trang trí (hình bên). Biết rằng $GH=16\text{ m}$, $AB=8\text{ m}$ và $AC=BD=1,7\text{ m}$. Diện tích phần cổng làm xiên hoa trang trí bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=x^3-6x$ và $y=x^2$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=2x^3-2x^2$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=0$. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?