Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=x^3-6x$ và $y=x^2$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=2x^3-2x^2$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=0$. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=x^2+2x$ và đường thẳng $d:y=2x+1$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $g(x)=f^{\prime \prime }(x)+bx-c$ bằng

Cho hai hàm số $y=x^3-3x^2+1$ và $y=-x^2+x-1$ có đồ thị như hình vẽ bên.

[IMAGE:img_q36_stem]

Diện tích của miền hình phẳng tô đậm bằng

Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol $(P_1),(P_2)$ lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ $O$ và điểm $I(0;12)$, cùng nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm $M(15;18)$. Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài $1\text{ cm}$. Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là $2\sqrt{2}\text{ cm}$ và $4\sqrt{2}\text{ cm}$ để khoét làm mắt (minh họa như hình vẽ dưới đây).

Công đoạn cuối cùng là tô màu xám cho một mặt của mặt nạ. Tính diện tích cần tô màu theo đơn vị ${\text{cm}}^2$.