Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=x^2+2x$ và đường thẳng $d:y=2x+1$ bằng

Cho hai hàm số $y=x^3-3x^2+1$ và $y=-x^2+x-1$ có đồ thị như hình vẽ bên.

[IMAGE:img_q36_stem]

Diện tích của miền hình phẳng tô đậm bằng

Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol $(P_1),(P_2)$ lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ $O$ và điểm $I(0;12)$, cùng nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm $M(15;18)$. Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài $1\text{ cm}$. Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là $2\sqrt{2}\text{ cm}$ và $4\sqrt{2}\text{ cm}$ để khoét làm mắt (minh họa như hình vẽ dưới đây).

Công đoạn cuối cùng là tô màu xám cho một mặt của mặt nạ. Tính diện tích cần tô màu theo đơn vị ${\text{cm}}^2$.

Lô gô gắn tại các Showroom của hãng ô tô VINFAST là một hình tròn như hình vẽ.

Phần tô đậm nằm giữa parabol đỉnh $I$ và đường gấp khúc $AJB$ được dát bạc với chi phí $10$ triệu đồng/${\text{m}}^2$. Phần còn lại được phủ sơn với chi phí $2$ triệu đồng/${\text{m}}^2$. Biết $AB=2\text{m},IA=IB=\sqrt{5}\text{m}$ và $JA=JB=\frac{\sqrt{13}}{2}\text{m}$. Tính tổng số tiền (triệu đồng) để dát bạc và phủ sơn của lô gô nói trên? (làm tròn đến hàng phần chục)

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$. Biết $f(-1)=0$. Tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Gọi $S_1,S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(C)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính tỷ số $\frac{S_1}{S_2}$.

Cho đồ thị hai hàm số $y=x^2-3x+2$; $y=x-1$ và $S_1;S_2$ là phần diện tích phần được tô như trong hình dưới.

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ và $g(x)=q{x}^3+p{x}^2+rx+t$ các hàm số $f^{\prime }(x)$, $g^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng $24$ và $f(4)=g(4)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng