Cho đồ thị hai hàm số $y=x^2-3x+2$; $y=x-1$ và $S_1;S_2$ là phần diện tích phần được tô như trong hình dưới.

Biết ${\int }_{2020}^{2022}f(x)dx=4042$. Giá trị của ${\int }_{1010}^{1011}f(2x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_{-2}^{3}f(x)dx=2$ và ${\int }_{-2}^3[f(x)+g(x)]dx=7$ thì ${\int }_{-2}^{3}g(x)dx$ bằng

Cho $f,g$ là hai hàm liên tục trên $[1;3]$ thỏa điều kiện ${\int }_1^3[f(x)+3g(x)]dx=10$ đồng thời ${\int }_1^3[2f(x)-g(x)]dx=6$. Tính $I={\int }_1^3[f(x)+2g(x)-2x+1]dx$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $\{\begin{array}{l}{x}^3\cdot f^{\prime }(x)+2x^2\cdot f(x)=1,\forall x\in (0;+\infty )\\ f(1)=0\end{array}$. Tính tích phân $I={\int }_1^3\frac{f(x)}{x}dx$.

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ và $g(x)=q{x}^3+p{x}^2+rx+t$ các hàm số $f^{\prime }(x)$, $g^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng $24$ và $f(4)=g(4)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng

Tính $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos x-3\sin x)dx$