Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)=e^x$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F(0)=1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho $F(x)=\int \sin \frac{x}{2}\mathrm{d}x$. Biết $F(\pi )=1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)+e^x\sin x$ trên $\mathbb{R}$ và $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)-e^x\sin x$ trên $\mathbb{R}$. Biết $F\left(\frac{\pi }{3}\right)+G\left(\frac{\pi }{3}\right)=8$, $F(0)+G(0)=-2$. Tính ${\int }_0^{\pi }f\left(\frac{x}{3}\right)\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x-1}$, $f(0)=2022$, $f(1)=2023$. Giá trị của $f(2)-f(-1)$ bằng

Tại một khu du lịch vào ngày lễ hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. Cho biết sau $2$ giờ đã có $500$ người có mặt.

Cho hàm số $f(x)=2x-3\cos x$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$. Biết $F(x)$, $G(x)$ lần lượt là các nguyên hàm của các hàm số $f(x)$ và $f(x)+1$ thỏa mãn $G(3)-F(3)=4$. Tính tích phân $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[G(x)-F(x)]\sin x\mathrm{d}x$.