Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$. Biết $F(x)$, $G(x)$ lần lượt là các nguyên hàm của các hàm số $f(x)$ và $f(x)+1$ thỏa mãn $G(3)-F(3)=4$. Tính tích phân $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[G(x)-F(x)]\sin x\mathrm{d}x$.

Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}\text{d}x=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3^x,y=0,x=0,x=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a,x=b$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $[-1;2],f(-1)=8;f(2)=-1$. Tích phân ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\text{d}x$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_0^2(2x+1)\text{d}x$

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.