Tính tích phân $I={\int }_0^2(2x+1)\text{d}x$

Cho hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a,b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính bởi công thức

Nhà bác An có tất cả $8$ cánh cửa sắt hình chữ nhật với chiều dài $2\text{m}$ và chiều rộng $1\text{m}$. Hai mặt của mỗi cánh cửa được thiết kế như hình vẽ dưới đây. Trong đó, phần được tô đậm được sơn màu xanh, phần còn lại được sơn màu trắng. Mỗi phần sơn màu trắng có đường biên cong là một phần của parabol có đỉnh nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng chi phí để sơn màu xanh là $120$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ và chi phí sơn màu trắng là $110$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Hỏi để sơn toàn bộ số cửa sắt trên, bác An phải trả bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị triệu đồng).

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=1$ và ${\int }_1^{4}f(x)dx=-3$. Giá trị của ${\int }_2^{4}f(x)dx$ bằng

Tích phân $I={\int }_0^{2}2e^{2x}dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(1)=1$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$. Tích phân ${\int }_0^1{f}^{\prime }(\sqrt{x})dx$ bằng

Cho hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ có đạo hàm trên $[1;2021]$, thỏa mãn $f(2021)=g(2021)=0$, $\frac{x}{(x+1{)}^2}g(x)+2020x=(x+1)f^{\prime }(x)$ và $\frac{x^3}{x+1}{g}^{\prime }(x)+f(x)=2021x^2$ với mọi $x\in [1;2021]$. Tích phân ${\int }_1^{2021}\left[\frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x)\right]dx$ bằng