Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)+e^x\sin x$ trên $\mathbb{R}$ và $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)-e^x\sin x$ trên $\mathbb{R}$. Biết $F\left(\frac{\pi }{3}\right)+G\left(\frac{\pi }{3}\right)=8$, $F(0)+G(0)=-2$. Tính ${\int }_0^{\pi }f\left(\frac{x}{3}\right)\mathrm{d}x$.