Mép dưới của một gầu xúc được mô tả theo từng đoạn bởi một hàm bậc hai chứa đường cong $AC$ và một hàm bậc nhất chứa đoạn thẳng $BC$ (tất cả kích thước tính bằng cm)



Tính dung tích (thể tích chứa) của gầu xúc bằng bao nhiêu lít?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại $A(0;0)$, trục $Ox$ dọc mép trên $AB$ (dài $40+40=80$ cm) và trục $Oy$ hướng xuống dưới. Theo hình vẽ: đáy sâu nhất của đường cong $AC$ cách $A$ theo phương ngang $30$ cm (còn $10$ cm nữa tới $C$), độ sâu lớn nhất $22,5$ cm; điểm nối $C$ cách $A$ theo phương ngang $40$ cm, sâu $20$ cm, tức $C(40;20)$; $B(80;0)$; chiều rộng gầu $120$ cm.

Parabol qua $A(0;0)$ có dạng $y=a{x}^2+bx$, đỉnh tại $x=30$ với $y(30)=22,5$:
$$\{\begin{array}{l}900a+30b=22,5\\ 60a+b=0\end{array}\Rightarrow a=-0,025,b=1,5,$$
tức $y=1,5x-0,025x^2$. Kiểm tra: $y(40)=60-40=20$ ✓ (đúng đi qua $C$).

Diện tích dưới đường cong từ $x=0$ đến $x=40$:
$$S_1={\int }_0^{40}\left(1,5x-0,025x^2\right)dx={\left[0,75x^2-\frac{0,025x^3}{3}\right]}_0^{40}=1200-\frac{1600}{3}=\frac{2000}{3}({\text{cm}}^2).$$

Phần tam giác $BC$ (cạnh $40$ và $20$):
$$S_2=\frac{40\cdot 20}{2}=400({\text{cm}}^2).$$

Diện tích tiết diện ngang:
$$S=S_1+S_2=\frac{2000}{3}+400=\frac{3200}{3}({\text{cm}}^2).$$

Thể tích gầu (chiều rộng $120$ cm):
$$V=\frac{3200}{3}\cdot 120=128000({\text{cm}}^3)=128\text{lıˊt}.$$

Kết quả khớp với đáp án 128.