Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Biết đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua hai điểm $A(2;1;1)$, $B(3;0;3)$ và đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-7}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$.



(Nút giao khác mức là nơi có hai hoặc nhiều tuyến đường giao nhau nằm ở cao độ khác nhau)

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(-7;0;1) vào Δ2: (x-7)/3 = (-14)/3 ≠ y/1 = 0, nên M không thuộc Δ2 → Sai. b) Δ1 có VTCP u1=AB=(1;-1;2), Δ2 có VTCP u2=(3;1;-1). Vectơ A đến điểm P(7;0;-1) trên Δ2: AP=(5;-1;-2). [u1,u2]=(-1;7;4), AP·[u1,u2]=-5-7-8=-20≠0 nên Δ1, Δ2 chéo nhau (không cắt, không song song) → hai đường ở cao độ khác nhau, nút giao khác mức → Đúng. c) AB=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2) là VTCP của Δ1 → Đúng. d) Δ1 qua B(3;0;3) với VTCP (1;-1;2): (x-3)/1 = y/(-1) = (z-3)/2 → Đúng. Khớp đáp án đề (4a S, 4b D, 4c D, 4d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(-7;0;1): (x-7)/3 = -14/3 ≠ 0 = y/1, nên M không thuộc Δ2.
b) (AI giải đề cho tôi)
u1=(1;-1;2), u2=(3;1;-1), AP=(5;-1;-2) với P(7;0;-1)∈Δ2. [u1,u2]=(-1;7;4) và u1·[u1,u2]=-1-7+8=0, AP·[u1,u2]=-5-7-8=-20≠0 nên hai đường chéo nhau, không giao nhau ở cùng điểm → nút giao khác mức.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2) là vectơ chỉ phương của Δ1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ1 qua B(3;0;3), VTCP (1;-1;2): (x-3)/1 = y/(-1) = (z-3)/2.