Hàm số $y=x^3-3(m+1)x^2+3(m-1{)}^{2}x$. Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ $x=1$ khi

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6(m+1)x+3(m-1{)}^2$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì điều kiện cần là $y^{\prime }(1)=0$:
$3(1{)}^2-6(m+1)(1)+3(m-1{)}^2=0⟺1-2m-2+m^2-2m+1=0⟺m^2-4m=0⟺m=0$ hoặc $m=4$.
Thử lại:
- Với $m=0$: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, do đó $y^{\prime }$ không đổi dấu khi qua $x=1$, hàm số không đạt cực trị tại $x=1$.
- Với $m=4$: $y^{\prime }=3x^2-30x+27=3(x-1)(x-9)$, đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=1$, hàm số đạt cực đại tại $x=1$.
Vậy chỉ có $m=4$ thỏa mãn. Chọn C.