Biết ${\int }_1^3\frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Tính $P=a+b+c$.

Tích phân ${\int }_0^{2}4048(2x-1{)}^{2023}dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$. Tính tích phân $I={\int }_0^{3}f(|2-x|)dx$.

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết  dx  2 và f 1  . Tích
1
x 3
1

phân  xf   x  dx bằng
0

2 2e 4 2

Biết ${\int }_0^1\frac{x^2+2x}{(x+3{)}^2}dx=\frac{a}{4}-4\ln \frac{4}{b}$, với $a,b$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a^2+b^2$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $f(2)=1$ và ${\int }_0^{2}x\cdot f(x)dx=1$. Tính $I={\int }_0^4{x}^2\cdot f^{\prime }\left(\frac{x}{2}\right)dx$ ta được kết quả bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(2)+G(2)=4$ và $F(1)+G(1)=1$. Khi đó ${\int }_0^{\pi /2}\cos xf(\sin x+1)dx$ bằng