Tích phân ${\int }_0^1\sqrt{2x+1}dx$ có giá trị bằng

Tích phân ${\int }_0^{2}4048(2x-1{)}^{2023}dx$ bằng

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=-1$ thì ${\int }_0^2[f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$. Tính tích phân $I={\int }_0^{3}f(|2-x|)dx$.

Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x-1}$; $f(0)=1$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=2$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là

Anh Định nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=f(x),y=g(x)$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét). Chi phí sản xuất mỗi ${\text{cm}}^2$ trên logo là $1000$ đồng. Chi phí sản xuất mỗi logo là bao nhiêu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)