Gọi $S$ là tập các cặp số thực $(x,y)$ sao cho $\ln (x-y{)}^x-2020x=\ln (x-y{)}^y-2020y+e^{2021}$ và $x\in [-1;1]$. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức $P=e^{2021x}(y+1)-2021x^2$ với $(x,y)\in S$ đạt được tại $(x_0;y_0)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Điều kiện $x-y>0$.
Phương trình biến đổi về:
$x\ln (x-y)-2020x=y\ln (x-y)-2020y+e^{2021}$
$\iff (x-y)\ln (x-y)-2020(x-y)=e^{2021}\iff \ln (x-y)-2020-\frac{e^{2021}}{x-y}=0$.
Xét hàm số $f(t)=\ln t-2020-\frac{e^{2021}}{t}$ với $t>0$.
Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+\frac{e^{2021}}{t^2}>0,\forall t>0$, do đó $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Nhận thấy $f(e^{2021})=\ln (e^{2021})-2020-\frac{e^{2021}}{e^{2021}}=2021-2020-1=0$.
Do tính đơn điệu nên phương trình có nghiệm duy nhất $t=e^{2021}$, tức là $x-y=e^{2021}\iff y=x-e^{2021}$.
Khi đó biểu thức $P$ trở thành:
$P(x)=e^{2021x}(1+x-e^{2021})-2021x^2$ với $x\in [-1;1]$.
Xét hàm số $g(x)=e^{2021x}(1+x-e^{2021})-2021x^2$ trên đoạn $[-1;1]$.
$g^{\prime }(x)=2021e^{2021x}(1+x-e^{2021})+e^{2021x}-4042x=e^{2021x}(2022+2021x-2021e^{2021})-4042x$.
$g^{\prime \prime }(x)=2021e^{2021x}(2022+2021x-2021e^{2021})+2021e^{2021x}-4042=e^{2021x}(2021\cdot 2023+2021^{2}x-2021^2{e}^{2021})-4042$.
Vì $x\le 1$ và $e^{2021}$ rất lớn nên $g^{\prime \prime }(x)<0,\forall x\in [-1;1]$.
Do đó $g^{\prime }(x)$ nghịch biến trên đoạn $[-1;1]$.
Ta có:
$g^{\prime }(-1)=e^{-2021}(2022-2021-2021e^{2021})+4042=e^{-2021}-2021+4042>0$.
$g^{\prime }(0)=2022-2021e^{2021}<0$.
Vì $g^{\prime }(x)$ liên tục và nghịch biến trên $[-1;0]$ với $g^{\prime }(-1)>0$ và $g^{\prime }(0)<0$, nên tồn tại duy nhất điểm $x_0\in (-1;0)$ sao cho $g^{\prime }(x_0)=0$.
Bảng biến thiên cho thấy $g(x)$ đồng biến trên $[-1;x_0)$ và nghịch biến trên $(x_0;1]$.
Do đó ${\max }_{[-1;1]}g(x)=g(x_0)$ đạt được tại $x_0\in [-1;0)$.
Chọn A.