Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm xác định trên $(0;+\infty )$. Biết rằng $f(x)>0$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)(\ln f(x)+1)+x(f^{\prime }(x)-2xf(x))=0$ và $\ln (f(2))-\ln (f(1))=1$. Giá trị tích phân ${\int }_1^{2}xf(x)dx$ nằm trong khoảng nào dưới đây.

Câu 3. Cho hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-2$ và $y=g(x)=d{x}^2+ex+2$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1$.



Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=4$ thì ${\int }_1^3[f(x)+2x]\mathrm{d}x$ bằng

Bác Bình muốn nhờ thợ trang trí một bức tường hình chữ nhật $ADEF$ với kích thước $EF=6\text{ m}$, $DE=3\text{ m}$ sao cho cân xứng hai nửa. Phần gạch chéo là hình giới hạn bởi đường gấp khúc $AFED$ và nửa đường tròn đường kính $AD$, được thuê sơn với đơn giá $250000$ đồng mỗi mét vuông. Phần màu trắng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $AD$ và một đường parabol (có đỉnh $H$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng bằng $2\text{ m}$ và đi qua hai điểm $B,C$ nằm trên cạnh $AD$ thỏa mãn $AB=CD=1,5\text{ m}$) được thuê trang trí bằng bức phù điêu đắp bằng xi măng với đơn giá $1950000$ đồng mỗi mét vuông (tham khảo hình vẽ). Hỏi bác Bình phải trả bao nhiêu triệu đồng để trang trí bức tường như vậy (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của triệu đồng)?

Biết ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$ và ${\int }_1^2[2f(x)-g(x)]dx=1$. Khi đó ${\int }_1^{2}g(x)dx$ bằng:

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$. Tính tích phân $I={\int }_0^1[2f(x)-1]dx$:

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$ và ${\int }_1^{4}f(x)dx=3$. Tính ${\int }_0^{4}f(x)dx$: