Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không vượt quá 6?

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm chia hết cho $6$ nên chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho $3$. Các chữ số lấy từ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, đôi một khác nhau, tổng tất cả bằng $21$ chia hết cho $3$. Chọn $5$ chữ số có tổng chia hết cho $3$ tương đương loại $2$ chữ số có tổng chia hết cho $3$; các cặp bị loại: $(0,3),(0,6),(3,6),(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)$ — $7$ bộ chữ số. Với mỗi bộ, đếm hoán vị có chữ số tận cùng chẵn và chữ số đầu khác $0$ (hiệu: $5!$ nhân số chữ số chẵn trừ các trường hợp đầu $=0$):
- $\{1,2,3,4,6\}$: $3\cdot 24=72$.
- $\{0,3,6,1,2\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,3,6,1,5\}$: $2\cdot 24-6=42$.
- $\{0,3,6,2,4\}$: $4\cdot 24-3\cdot 6=78$.
- $\{0,3,6,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{1,2,3,4,5\}$: $2\cdot 24=48$.
Tổng: $72+60+42+78+60+60+48=420$. Kết quả khớp đáp án nguồn.