Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $ABC$ thoả mãn $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=\frac{a+b+c}{2}$, $x=s-a,y=s-b,z=s-c$ (đều dương), khi đó $a=y+z,b=z+x,c=x+y$.

Ta có đồng nhất thức $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$, nên
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3+\frac{2s(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}.$$
Mặt khác $r=\frac{\Delta }{s},R=\frac{abc}{4\Delta }$ với ${\Delta }^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=sxyz$, suy ra $\frac{2r}{R}=\frac{8{\Delta }^2}{sabc}=\frac{8xyz}{abc}$.

Giả thiết $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$ trở thành
$$2s(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+8xyz=abc.$$
Tính trực tiếp: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$, và $abc=(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$. Chú ý $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=x^3+y^3+z^3-3xyz$, phương trình tương đương
$$2(x^3+y^3+z^3)=x^{2}y+x^{2}z+x{y}^2+y^{2}z+x{z}^2+y{z}^2,$$
hay
$$(x+y)(x-y{)}^2+(y+z)(y-z{)}^2+(z+x)(z-x{)}^2=0.$$
Vì $x,y,z>0$ nên mỗi số hạng không âm, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$, tức $a=b=c$. Vậy tam giác $ABC$ đều.

Kiểm tra: tam giác đều có $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3$ và $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ nên vế trái $=3+1=4$, thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, Mã 1101: D).