Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $m$, bất phương trình $\left(3^{x^2}-2^{mx}\right)({\log }_3{x}^2-{\log }_2(x+1))\le 0$ có đúng $9$ nghiệm nguyên?

Điều kiện $x>-1,x\ne 0$; vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$. Xét $g(x)={\log }_3{x}^2-{\log }_2(x+1)$ trên $[1;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)=\frac{2}{x\ln 3}-\frac{1}{(x+1)\ln 2}>0,\forall x\ge 1$ và $g(3)=0$. Do đó $g(x)<0$ khi $x\in \{1;2\}$, $g(3)=0$, và $g(x)>0$ khi $x>3$. Với $x\ge 1$, ta có $3^{x^2}-2^{mx}\le 0\iff x\le m{\log }_{3}2$. Vì $x=3$ luôn là nghiệm, để bất phương trình có đúng $9$ nghiệm nguyên thì trường hợp $x\ge 3$ phải cho các nghiệm nguyên $x\in \{3;4;\dots ;11\}$ (tức $11\le m{\log }_{3}2<12\iff m\in \{18;19\}$), đồng thời khi đó $m{\log }_{3}2>11>2$ nên $x\in \{1;2\}$ không thỏa mãn $x\ge m{\log }_{3}2$. Vậy có $2$ giá trị nguyên dương của $m$ là $m\in \{18;19\}$. Chọn C.