Cho bất phương trình $(3+\sqrt{5}{)}^x+(9-m)(3-\sqrt{5}{)}^x>(m-1)2^x$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $(0;+\infty )$?

Chọn B.
Chia cả hai vế của bất phương trình cho $2^x>0$:
${\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x+(9-m){\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^x>m-1$
Nhận xét rằng $\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}=1$.
Đặt $t={\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x$. Vì $x>0$ và $\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1$ nên $t>1$.
Bất phương trình trở thành $t+\frac{9-m}{t}>m-1\iff t^2+9-m>(m-1)t\iff t^2+t+9>m(t+1)\iff m<\frac{t^2+t+9}{t+1}=t+\frac{9}{t+1}$.
Khảo sát hàm số với $t>1$, ta tìm được các giá trị nguyên dương $m\in \{1,2,3,4\}$, có $4$ giá trị thỏa mãn.