Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn:
${\log }_2\left(\sqrt{1+x^2}+x+\frac{1}{2}\right)={\log }_{2}2021+{\log }_4\left(y^2-y\sqrt{y^2+2}+1\right)$
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=3$ là

Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi $P(t)$ là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ $t$ năm trước đây thì $P(t)$ được tính theo công thức: $P(t)=100\cdot (0,5{)}^{\frac{t}{5750}}(\%)$. Lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ là $65\%$. Hỏi mẫu gỗ bị chết bao nhiêu năm rồi?

Cho phương trình $2{\log }_3(\cot x)={\log }_2(\cos x)$. Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{6};\frac{9\pi }{2}\right)$?

Cho hàm số $f(x)={\log }_3\left(\frac{m^{2}x}{1-x}\right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho $f(a)+f(b)=3$ với mọi số thực $a,b$ thỏa mãn $e^{a+b}\le e(a+b)$. Tính tích các phần tử của $S$.

Nghiệm của phương trình 3 x-1 = 9 là

Số nghiệm của phương trình log 2 x + log 2 ( x - 1) = 2 là