Cho hàm số $f(x)=x^3-x^2+x-m-2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho ${\max }_{[0;3]}|f(x)|+{\min }_{[0;3]}|f(x)|=16$. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=x^3-x^2+x-2$ trên đoạn $[0;3]$.
$g^{\prime }(x)=3x^2-2x+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Do đó $g(x)$ đồng biến trên $[0;3]$.
$g(0)=-2$, $g(3)=27-9+3-2=19$.
Khi đó $f(x)=g(x)-m$ có ${\min }_{[0;3]}g(x)=-2-m$ và ${\max }_{[0;3]}g(x)=19-m$.
Giải phương trình ${\max }_{[0;3]}|f(x)|+{\min }_{[0;3]}|f(x)|=16$, ta tìm được các giá trị của $m$ có tổng bằng $17$.
Vậy đáp án là C.