Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $4{\log }_9\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$?

Điều kiện $x+y>0$. Phương trình tương đương với $2{\log }_3[3(x+y)]+3(x+y)=2{\log }_3(x^2+y^2+xy+2)+(x^2+y^2+xy+2)$. Xét hàm đặc trưng $g(t)=2{\log }_{3}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $3(x+y)=x^2+y^2+xy+2\iff x^2+y^2+xy-3x-3y+2=0$. Với $x,y\in \mathbb{Z}$, ta tìm được $6$ cặp nghiệm nguyên là $(1;1),(1;2),(2;1),(0;2),(2;0),(2;2)$. Chọn D.