Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $G(x)$ là một nguyên hàm của $F(x)$ trên $\mathbb{R}$. Biết $(G^{\prime }(1){)}^2-(F(0){)}^2=4$. Khi đó ${\int }_0^{1}f(x)\cdot G^{\prime }(x)dx$ bằng

Cho biết $I={\int }_0^1\frac{dx}{(x+1)(x+2)}=a\ln 2+b\ln 3$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Khi đó giá trị của tổng $2a+3b$ bằng

Câu 2: Ở nhiệt độ $37^{\circ }\text{C}$, một phản ứng hóa học từ chất đầu $A$, chuyển hóa thành chất sản phẩm $B$ theo phương trình $A\to B$. Nồng độ của chất $A$ tại thời điểm $x$ giây là $y(x)$ (đơn vị $\text{mol}/\text{L}$), với $x\ge 0$, thỏa mãn hệ thức: $y^{\prime }(x)=-7\cdot 10^{-4}y(x)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại $x=0$, nồng độ (đầu) của $A$ là $0,05\text{ mol}/\text{L}$. Xét hàm số $f(x)=\ln y(x)$ với $x\ge 0$. Khi đó, ta có:

Nếu f (1) = 12 và ∫ f ' (x )dx = 17 thì giá trị của f (4) bằng
1

Tính tích phân $I={\int }_0^1\frac{x^2-x+3}{x+1}dx$.

Cho tích phân $I={\int }_1^2\frac{x^3-3x^2+2x}{x+1}dx=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Giá trị của ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\mathrm{d}x$ bằng