Một nhóm gồm $8$ học sinh nam và $7$ học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh trong nhóm. Xác suất để trong $5$ học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ mà số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

Có $21$ bóng đèn gồm $3$ màu đỏ, xanh, vàng, mỗi màu gồm $7$ bóng được đánh số từ $1$ đến $7$. Chọn ngẫu nhiên $7$ bóng và gắn vào các vị trí $O,A,B,C,D,E,F$ như hình vẽ, $ABCDEF$ là lục giác đều tâm $O$. Gọi $P$ là xác suất để hai bóng đèn ở hai vị trí kề nhau luôn khác màu, đồng thời ba bóng đèn trên mỗi đường chéo qua tâm $AD,BE,CF$ có số đôi một khác nhau. Biết $P=\frac{m}{n}$ ($m,n$ nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản). Hãy tính giá trị $n-22m^2$.

[IMAGE:img_q22_hexagon]

Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu có đội vận động viên đi thi đấu hội khỏe phù đổng cấp tỉnh gồm khối 10 có 4 nam và 2 nữ, khối 11 có 4 nam và 4 nữ, khối 12 có 4 nam và 2 nữ. Trưởng đoàn chọn ngẫu nhiên một vận động viên đại diện dự khai mạc hội khỏe, xác suất để chọn được vận động viên nữ là

Một lớp học gồm có hai tổ. Tổ 1 có $16$ học sinh, tổ 2 có $20$ học sinh. Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2024, tổ 1 có $10$ bạn đăng ký thi tổ hợp tự nhiên, $6$ bạn đăng ký thi tổ hợp xã hội. Tổ 2 có $8$ bạn đăng ký thi tổ hợp tự nhiên và $12$ bạn đăng ký thi tổ hợp xã hội. Chọn ngẫu nhiên ở mỗi tổ một bạn để thử nghiệm việc đăng ký dự thi TN THPT.

Kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2025 dự kiến thi ba buổi. Ngày đầu thi chung Văn và Toán, buổi thứ ba tổ chức thi tất cả các môn còn lại theo đúng hai khung giờ. Bạn Hiền và bạn Hoà thi chung một phòng thi nhưng thuộc hai nhóm môn khác nhau. Bạn Hiền học nhóm môn (Sử; Anh; Lý; Hoá; Sinh; Tin) còn bạn Hoà học nhóm môn (Sử; Anh; Địa; KT & PL; Công nghệ). Mỗi bạn chọn ngẫu nhiên theo thứ tự 2 môn trong nhóm môn mình học để thi. Xác suất để bạn Hiền và bạn Hoà thi buổi thứ ba trùng đúng một môn thi trong cùng một khung giờ bằng $\frac{a}{b}$ (tối giản). Tính $a+b$.

Một hộp chứa $7$ viên bi đỏ, $8$ viên bi trắng, $6$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra $4$ viên bi. Tính xác suất để chọn được $4$ viên bi trong đó có nhiều nhất $2$ viên bi vàng.

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là