Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q):2x-y+3z-2023=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-1-2t\\ z=4+5t\end{array}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\text{mp}(Q)$. Mặt phẳng $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):x-4y+2z-7=0$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+3y+z-1=0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ và đi qua điểm $M(-1;-1;4)$ có dạng $ax+by+z+d=0$. Tính $T=a+b-d$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):2x-y+3z+5=0$

Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $x+2y-4z+5=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;4;-2)$ và hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-1}{1},\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{1}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng $d$ và $\Delta$. Đường thẳng $OA$ cắt $(P)$ tại $I$. Khi đó $\frac{IO}{IA}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $(N)$ có đỉnh $A(1;4;0)$, độ dài đường sinh bằng $\sqrt{19}$ và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(P):2x+y+2z-3=0$. Gọi $(C)$ là giao tuyến của mặt xung quanh của $(N)$ với mặt phẳng $(Q):x-2(m+1)y+mz+2m+1=0$ và $M$ là một điểm di động trên $(C)$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $(Q)$ lớn nhất thì giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AM$ thuộc khoảng nào dưới đây?