Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_3(x^2+y+3x)+{\log }_2(x^2+y)\le {\log }_{3}x+{\log }_2(x^2+y+18x)$?

Với $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, chia cả hai vế theo biến $t=\frac{x^2+y}{x}>0$: bất phương trình tương đương với ${\log }_3(t+3)+{\log }_2\frac{t}{t+18}\le 0$. Xét hàm số $g(t)={\log }_3(t+3)+{\log }_2\left(1-\frac{18}{t+18}\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $g(6)={\log }_{3}9+{\log }_2\frac{6}{24}=2-2=0$. Do đó bất phương trình tương đương với $t\le 6\iff x^2+y\le 6x\iff 1\le y\le 6x-x^2$. Cho $x\in \{1;2;3;4;5\}$ ta có số giá trị nguyên dương của $y$ lần lượt là $5,8,9,8,5$. Tổng cộng có $5+8+9+8+5=35$ cặp số nguyên dương $(x;y)$. Chọn D.