Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2+x-6$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=f(x^3-3x^2-9x+m)$ có đúng $6$ điểm cực trị.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x+3)(x-2)$. Xét $g(x)=f(x^3-3x^2-9x+m)$, ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x-9)f^{\prime }(x^3-3x^2-9x+m)=0\iff x\in \{-1;3\}$ hoặc $h(x)=x^3-3x^2-9x=-m-3$ hoặc $h(x)=x^3-3x^2-9x=-m+2$. Hàm số $h(x)=x^3-3x^2-9x$ đạt cực đại $h(-1)=5$ và cực tiểu $h(3)=-27$. Để $g(x)$ có đúng $6$ điểm cực trị thì tổng số nghiệm bội lẻ (khác $-1$ và $3$) của hai phương trình $h(x)=-m-3$ và $h(x)=-m+2$ phải bằng $4$, tức một đường thẳng cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $3$ điểm phân biệt (thuộc khoảng $(-27;5)$) và đường thẳng còn lại cắt tại $1$ điểm bội lẻ (nằm ngoài đoạn $[-27;5]$): $[<table><tbody><tr><td>-27<-m-3<5\le -m+2</td></tr><tr><td>-m-3\le -27<-m+2<5</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>-3\le m<2</td></tr><tr><td>24\le m<29</td></tr></tbody></table>$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1\}\cup \{24;25;26;27;28\}$, có tất cả $5+5=10$ giá trị nguyên của $m$. Chọn A.