Chọn ngẫu nhiên 4 số từ tập hợp $S=\{1;2;3;\dots ;200\}$. Xác suất để bộ 4 số được chọn ra lập thành một cấp số cộng có công sai dương bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Giá trị của biểu thức $m+n$ bằng bao nhiêu?

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số. Xét $T$ là phép thử: "Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 số từ tập hợp $S$" có không gian mẫu $\Omega$.

Nhân ngày vía Thần Tài, một cửa hàng vàng chuẩn bị quà tặng cho các khách hàng may mắn gồm 5 bộ vàng "Tú Quý", các bộ vàng có khối lượng khác nhau.

Mỗi bộ vàng gồm 4 miếng vàng có khối lượng giống nhau. Trên mỗi miếng vàng của cùng một bộ chỉ được khắc một trong bốn biểu tượng: Tùng, Cúc, Trúc hoặc Mai (hai miếng vàng khác nhau trong một bộ vàng được khắc biểu tượng khác nhau).

Có 9 khách hàng may mắn được chọn. Các khách hàng đó bốc ngẫu nhiên mỗi người một phiếu trong 20 phiếu kín (không hoàn lại), mỗi phiếu kín tương ứng với quà tặng là 1 trong 20 miếng vàng nói trên.

Xác suất để trong 9 miếng vàng được tặng chứa đúng một trong năm bộ vàng "Tú Quý" bằng bao nhiêu phần trăm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Cho một bảng ô vuông 3×3. Người ta chọn ngẫu nhiên 9 số nguyên dương phân biệt từ tập hợp $A=\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 30\}$ và điền ngẫu nhiên vào 9 ô của bảng thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 120.
2) Tồn tại số nguyên dương $q$ sao cho các số ở cột 1 là $(a;b;c)$, các số ở cột 2 là $(d;e;f)$, các số ở cột 3 là $(k;m;n)$ thỏa mãn $a^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2$.
Khi đó xác suất để bảng nhận được các số thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên là một số có dạng $\alpha .10^{-12}$ ($\alpha$ là số làm tròn đến hàng phần trăm). Tìm $\alpha$.

Cho một bảng ô vuông $3\times 3$. Người ta chọn ngẫu nhiên 9 số nguyên dương phân biệt từ tập hợp $A=\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 30\}$ và điền ngẫu nhiên vào 9 ô của bảng thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 120.
2) Tồn tại số nguyên dương $q$ sao cho các số ở cột 1 là $(a;b;c)$, các số ở cột 2 là $(d;e;f)$, các số ở cột 3 là $(k;m;n)$ thỏa mãn $a^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2$.
Khi đó xác suất để bảng nhận được các số thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên là một số có dạng $\alpha .10^{-12}$ ($\alpha$ là số làm tròn đến hàng phần trăm). Tìm $\alpha$.

An có 3 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Bình có 4 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu xanh. Mỗi người chọn ngẫu nhiên hai viên để cho người kia xem. Xác suất để cả 4 viên bi cùng một màu là $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ tối giản và $a,b\in \mathbb{N}$. Tính $a+b$.

Một hộp đựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi vàng, các viên bi cùng kích thước khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên cùng lúc 5 viên bi từ hộp. Xác suất để 5 viên bi chọn được có ít nhất 2 viên bi màu vàng bằng