Cho một bảng ô vuông 3×3. Người ta chọn ngẫu nhiên 9 số nguyên dương phân biệt từ tập hợp $A=\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 30\}$ và điền ngẫu nhiên vào 9 ô của bảng thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Tích các số ở mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 120.
2) Tồn tại số nguyên dương $q$ sao cho các số ở cột 1 là $(a;b;c)$, các số ở cột 2 là $(d;e;f)$, các số ở cột 3 là $(k;m;n)$ thỏa mãn $a^2+bc=d^2+ef=k^2-mn=q^2$.
Khi đó xác suất để bảng nhận được các số thỏa mãn đồng thời các điều kiện trên là một số có dạng $\alpha .10^{-12}$ ($\alpha$ là số làm tròn đến hàng phần trăm). Tìm $\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn và điền 9 số phân biệt từ 30 số vào 9 ô là hoán vị chọn 9 từ 30: |Ω| = A(30,9) = 30·29·28·27·26·25·24·23·22 = 5.191.778.592.000.

Bước 1: Phân tích điều kiện 2. Vì tích mỗi hàng bằng 120 nên bc = 120/a, ef = 120/d, mn = 120/k. Điều kiện a² + bc = d² + ef cho:
f(a) − f(d) = (a−d)(a + d − 120/(ad)) = 0 với f(x) = x² + 120/x.
Vì các số phân biệt nên a ≠ d, suy ra ad(a + d) = 120. Kiểm tra các cặp nguyên dương: chỉ có (a,d) = (3,5) hoặc (5,3) (vì 3·5·8 = 120; các cặp khác như 2·6·8=96, 3·4·7=84, 4·5·9=180 đều sai). Khi đó q² = 3² + 120/3 = 49, tức q = 7.
Điều kiện k² − mn = 49 với mn = 120/k cho k³ − 49k − 120 = 0, phân tích (k−8)(k²+8k+15) = 0, nghiệm dương duy nhất k = 8.
Vậy cột 1 là (3,5,8) hoặc (5,3,8), và mn = 120/8 = 15. Do 3, 5 đã dùng và các số phân biệt nên {m,n} = {1,15}.

Bước 2: Đếm các bảng. Các bộ ba số phân biệt ≤ 30 có tích 120 (từ ước của 120: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30) gồm 12 bộ; nhưng với ràng buộc cột 1 cố định {3,5,8} ta chỉ cần điền 6 ô còn lại.

TH1: a=3, d=5 ⇒ bc = 40, ef = 24. Cặp (b,c): {2,20} hoặc {4,10}; cặp (e,f): {1,24} (loại vì 1 đã dùng), {2,12}, {4,6}.
• bc={2,20}, ef={4,6}: điều kiện cột b·e·m = 120, c·f·n = 120 với {m,n}={1,15} cho đúng 2 cách: (b,e,m;c,f,n) = (2,4,15; 20,6,1) hoặc (20,6,1; 2,4,15).
• bc={4,10}, ef={2,12}: tương tự cho đúng 2 cách: (4,2,15; 10,12,1) hoặc (10,12,1; 4,2,15).
→ 4 bảng.

TH2: a=5, d=3 ⇒ bc = 24, ef = 40. Cặp (b,c): {2,12} hoặc {4,6}; cặp (e,f): {2,20} hoặc {4,10}.
• bc={2,12}, ef={4,10}: 2 cách: (2,4,15; 12,10,1) hoặc (12,10,1; 2,4,15).
• bc={4,6}, ef={2,20}: 2 cách: (4,2,15; 6,20,1) hoặc (6,20,1; 4,2,15).
• Các kết hợp còn lại trùng số (2 hoặc 4 dùng hai lần) nên loại.
→ 4 bảng.

Tổng số bảng thuận lợi: N = 8.

Bước 3: Xác suất:
P = 8 / 5.191.778.592.000 ≈ 1,5409·10⁻¹² = α·10⁻¹² với α làm tròn đến hàng phần trăm.
Vậy α = 1,54, trùng với đáp án nguồn.