Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh $2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$.



Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông $ABCD$.

a) ĐÚNG: Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ (vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AC,SA$ trong mặt phẳng đó).

b) ĐÚNG: $SA\perp (ABCD)$ và $BD\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.

c) ĐÚNG: Theo câu a) $BD\perp (SAC)$ mà $BD\subset (SBD)$, nên $(SBD)\perp (SAC)$ (tiêu chí vuông góc hai mặt phẳng).

d) SAI: Vì $BD\perp (SAC)$, trong mặt phẳng $(SAC)$ ta có $SO\perp BD$ và $CO\perp BD$, nên góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$.
Tính toán: cạnh đáy $2a$ nên $AC=2a\sqrt{2}$, do đó $AO=OC=a\sqrt{2}$.
$SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{6a^2+2a^2}=2a\sqrt{2}$.
$S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2=6a^2+8a^2=14a^2$.
$$\cos \widehat{SOC}=\frac{S{O}^2+O{C}^2-S{C}^2}{2\cdot SO\cdot OC}=\frac{8a^2+2a^2-14a^2}{2\cdot 2a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{-4a^2}{8a^2}=-\frac{1}{2}.$$
Suy ra $\widehat{SOC}=120^{\circ }$, tức số đo góc nhị diện $[S,BD,C]=120^{\circ }\ne 60^{\circ }$, khẳng định d) SAI.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng đáp án mã đề 1101 câu 15: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\perp AC$ (đáy hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA\perp (ABCD)$ và $BD\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\perp (SAC)$ và $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$ với $O=AC\cap BD$. Với $SO=2a\sqrt{2}$, $OC=a\sqrt{2}$, $S{C}^2=14a^2$ ta được $\cos \widehat{SOC}=-\frac{1}{2}$, nên $\widehat{SOC}=120^{\circ }\ne 60^{\circ }$, khẳng định sai.