Nhà ba bạn Minh, Nam, Quý theo thứ tự ở ba vị trí $M,N,Q$. Có ba con đường thẳng nối nhà các bạn với độ dài các đoạn đường là $QM=3km,QN=6km$ và $QM\perp QN$ (tham khảo hình vẽ). Vào 9h00' sáng Chủ nhật, bạn Quý đi bộ đến nhà bạn Minh với tốc độ $4km/h$, cùng lúc đó bạn Minh đi xe đạp đến nhà bạn Nam với tốc độ $12km/h$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai bạn Minh và Quý là ngắn nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười của phút).

Sự tăng trưởng dân số được xác định bởi hàm số $p(t)=\frac{800}{1+7e^{-0,2t}}$. Tốc độ tăng trưởng dân số tức thời tại thời điểm $t$ là $p^{\prime }(t)$. Tính thời điểm $t$ để tốc độ tăng trưởng là lớn nhất. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công ty sản xuất đồ chơi muốn tối ưu hóa lợi nhuận từ việc sản xuất một loại búp bê. Họ nhận thấy rằng, với mỗi đơn vị sản xuất, chi phí cố định là 500.000 đồng, chi phí biến đổi là 100.000 đồng. Mặt khác, nếu sản xuất x đơn vị búp bê thì giá bán mỗi đơn vị là $P(x)=600.000-10.000x$ đồng. Hỏi công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa?

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ có khoảng cách đến bờ biển $AB=5km$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $7km$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến $M$ trên bờ biển với vận tốc $4km/h$ rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $6km/h$. Vị trí của điểm $M$ cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức $G(x)=0,25x^2(30-x)$ trong đó $x(mg)$ và $x>0$ là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu:

Một cửa hàng bán máy tính laptop trung bình bán được 1000 laptop mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng cho một laptop thì số lượng máy tính bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 chiếc mỗi tháng.

Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 6 m và chiều rộng 5 m bằng cách: Gấp đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều dài của tấm bạt sao cho hai mép cạnh chiều rộng của tấm bạt sát đất và cách nhau $x(m)$, hai đầu hồi của lều được thiết kế cửa ra, vào và có thể khép kín (tham khảo hình vẽ dưới). Thể tích không gian phía trong lều lớn nhất bằng $\frac{a}{b}\left(m^3\right)$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $a+b$?