Cho tứ diện đều $SABC$ có cạnh bằng $6a$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $AB$. Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau.
a) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CS}=\vec{0}$.
b) $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BS}=-18a^2$.
c) $(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB})=120^{\circ }$.
d) $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=12a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 72: Tứ diện đều cạnh $6a$.
a) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{BS}$, nên tổng bằng $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BS}=\vec{0}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AS}$, nên $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BS}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AS}$. Góc giữa $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $60^{\circ }$ (cùng ngược với $\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AB}$), nên $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BA}=6a\cdot 6a\cdot \frac{1}{2}=18a^2$; $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AS}=-36a^2$. Vậy tích vô hướng $=18a^2-36a^2=-18a^2$. Đúng.
c) $H$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$ nên cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp, $HA=HB=\frac{6a}{\sqrt{3}}=2a\sqrt{3}$, ba vectơ $\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HC}$ đôi một góc $120^{\circ }$. Đúng.
d) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}$. Vì $\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{AS}$ và góc giữa $\overrightarrow{AS}$ với $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ đều $60^{\circ }$, ta có $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}=-18a^2$. Vậy $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=0\ne 12a^2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{BS}$, tổng bằng $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BS}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BS}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AS}=18a^2-36a^2=-18a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$H$ là tâm tam giác đều $ABC$, $HA=HB=2a\sqrt{3}$, góc $\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}$ bằng $120^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{AB}=-18a^2-(-18a^2)=0\ne 12a^2$.