Người ta chế tạo một chiếc hộp chữ nhật có thể tích $520c{m}^3$, chiều cao là 13 cm. Gọi $x,y$ là các kích thước còn lại của chiếc hộp với $x>0,y>0$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
a) $y=\frac{40}{x}$.
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S(x)=80+13x+\frac{1040}{x}$.
c) $S^{\prime }(x)=\frac{26x^2-1040}{x^2}$.
d) Chi phí vật liệu làm hộp nhỏ nhất khi $x=2\sqrt{10}$.

Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là $600{\text{cm}}^2$. Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 2 cm, lề trái là 3 cm và lề phải là 2 cm. Tính diện tích lớn nhất của phần hình chữ in vào cuốn sách (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Thầy Bình tham dự giải “Đi bộ trực tuyến S-race school năm 2026”. Quãng đường thầy Bình đi được biểu diễn bằng hàm số $s(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d$ (với $a\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ, $s$ là quãng đường tính bằng km). Khi đó, vận tốc tối đa của thầy Bình đạt được trong quá trình đi bộ là bao nhiêu (đơn vị km/h)?

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng $x$ của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=2BC$, $A{D}^2+A{B}^2=100$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB,SD$. Mặt phẳng $(AMN)$ tạo với mặt phẳng đáy góc $\alpha$ cố định. Tính $\tan \alpha$ biết giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng 25.

Ông Bé đang cho chiếc xe máy cày đi từ vị trí A đến vị trí C trên một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều rộng 100 m và chiều dài 200 m. Mảnh đất này có một phần là bãi cỏ được giới hạn bởi một parabol có bề rộng BC với đỉnh là tâm O của hình chữ nhật ABCD, phần còn lại là ruộng nước. Chiếc máy cày của ông khi đi trên ruộng nước sẽ có vận tốc bằng 6 km/h, khi đi trên bãi cỏ sẽ có vận tốc 22 km/h. Hỏi thời gian ngắn nhất mà ông Bé hoàn thành đoạn đường đi từ A tới C là bao nhiêu phút? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm của phút, chỉ làm tròn ở phép tính cuối cùng.

Theo kết quả thăm dò trước một buổi biểu diễn văn nghệ ngoài trời, nếu giá bán mỗi vé là $p$ nghìn đồng thì sẽ có $x$ người mua vé xem biểu diễn, giữa $p$ và $x$ có mối liên hệ: $p=489.e^{-0,001x}$. Đơn vị tổ chức nên bán vé với giá bao nhiêu nghìn đồng thì đạt được doanh thu (tổng số tiền bán vé) cao nhất? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).