Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }{C}^{\prime }=5\sqrt{2}a$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau.



a) Số vecto khác vecto-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương ngược hướng với vecto $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ là 1.
b) Góc giữa $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }D}$ bằng $90^{\circ }$.
c) $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=25a^2$.
d) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=5\sqrt{6}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo mặt nên $a\sqrt{2}=5\sqrt{2}a\Rightarrow$ cạnh bằng $5a$. Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(5,0,0),C(5,5,0),D(0,5,0),A^{\prime }(0,0,5),B^{\prime }(5,0,5),C^{\prime }(5,5,5),D^{\prime }(0,5,5)$.
a) Sai. Các vecto cùng phương ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ (hướng từ $C^{\prime }$ đến $D^{\prime }$) là $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AB}$, tức có 3 vecto chứ không phải 1.
b) Sai. $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0,-5,5)$, $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(-5,0,-5)$, tích vô hướng $=-25\ne 0$, nên góc khác $90^{\circ }$ (cos $=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$).
c) Đúng. $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-5,5,-5)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-5,0,0)$, tích vô hướng $=25=25a^2$.
d) Sai. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, độ dài $=5a\sqrt{3}\ne 5\sqrt{6}a$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Các vecto ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ là $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AB}$: có 3 vecto, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}=-25\ne 0$ nên góc khác $90^{\circ }$ (bằng $60^{\circ }$ giữa hai đường thẳng).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-5)(-5)=25=25a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vecto bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có độ dài $5\sqrt{3}a\ne 5\sqrt{6}a$.