Cho phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình. Tổng của $M+m$ là

Một vòng quay mặt trời có đường kính $100m$, điểm thấp nhất cách mặt đất $5m$. Vòng quay quay đều, thực hiện một vòng hết 20 phút. Giả sử tại thời điểm $t=0$, một cabin bắt đầu rời khỏi vị trí thấp nhất. Độ cao $H$ (mét) của cabin so với mặt đất sau $t$ phút được xác định bởi công thức: $H(t)=50\sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)+55$. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:



a) Sau 5 phút kể từ lúc bắt đầu quay, cabin đạt độ cao $105m$ so với mặt đất.

b) Độ cao cao nhất mà cabin đạt được so với mặt đất là $105m$.

c) Trong vòng quay đầu tiên, cabin ở độ cao $80m$ so với mặt đất tại hai thời điểm $t=\frac{20}{3}$ phút và $t=\frac{40}{3}$ phút.

d) Trong 20 phút đầu tiên, khoảng thời gian mà cabin ở độ cao trên $80m$ so với mặt đất là 6,66 phút (làm tròn đến hàng phần trăm)

Tìm các nghiệm của phương trình $\cos (x-30^{\circ })=-\cos 2x$. (Lưu ý: trong đề gốc, lựa chọn thứ hai và thứ ba đều được in với nhãn B, thiếu nhãn C; ở đây lựa chọn thứ ba được gán nhãn C để bản ghi hợp lệ, nội dung các lựa chọn giữ nguyên theo đề.)

Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:

a) $\cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$.

b) $3{\log }_3\left(x-1\right)-{\log }_{\frac{1}{3}}{\left(x-5\right)}^3=3$.

Cho phương trình $\frac{\cos x.\cos 2x-m.\cos x+\cos 2x-m}{\sin x}=0$ với $m$ là tham số.

Cho 2 vecto $\vec{a}=(2;-\sqrt{3};1)$, $\vec{b}=(\sin 3x;\sin x;\cos x)$. $\vec{a}\perp \vec{b}$ khi:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin 2x=\cos x$ trên đoạn $[0;\pi ]$ bằng