Cho mặt cầu $S(I;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu. Qua $A$ kẻ đường thẳng cắt $S$ tại hai điểm phân biệt $B,C$. Tích $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ bằng

Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $I$, khi đó $CD$ là đường kính của mặt cầu nên tam giác $CBD$ vuông tại $B\Rightarrow BD\perp BC$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}$.
Mặt khác: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC}$, và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}$.
Do đó: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IC})\cdot (\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})=A{I}^2-I{C}^2=I{A}^2-R^2$.
Chọn A.