Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Giá trị $\sin$ của góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ có cạnh $BD$. Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông. Ta có $AC\perp BD$ nên $AO\perp BD$, và $A^{\prime }C\perp (ABCD)$ suy ra $AC\perp BD$, tức $A^{\prime }O\perp BD$ (vì $BD\perp (A^{\prime }AC)$). Vậy góc nhị diện là $\widehat{A^{\prime }OA}$.

Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$.
$$\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0\right),\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2},a\right).$$
$$\cos \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}{\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot a\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Suy ra $\sin \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy đáp án là $\frac{\sqrt{6}}{3}$, tương ứng phương án C.