Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Giá trị $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{B{D}_1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(0;1;2)$. Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường hạ xuống từ $A$ xuống cạnh $BC$. Giá trị của $3a+2b+c$ bằng:

Trong một căn phòng, người ta trang trí một bóng đèn LED có thể di chuyển trên một thanh sắt. Một đầu được treo cách trần nhà $0,7m$ và cách từng bức tường vuông góc với nhau lần lượt là $0,2m$ và $1,5m$. Đầu còn lại treo cách trần nhà $0,6m$, cách hai bức tường là $1,8m$ và $1,3m$. Hãy tính độ dài của thanh sắt đó. (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-1)$, $B(2;-1;3)$, $C(0;1;2)$. Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường hạ xuống từ $A$ xuống cạnh $BC$. Giá trị của $3a+2b+c$ bằng:

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-3)$, $B(4;0;5)$, $C(2;0;1)$. Gọi $M$ là điểm bất kì sao cho biểu thức $P=2M{A}^2+3M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất đó bằng

Câu 6. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Giá trị tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)$ bằng

Trong một căn phòng, người ta trang trí một bóng đèn LED có thể di chuyển trên một thanh sắt. Một đầu được treo cách trần nhà $0,7m$ và cách từng bức tường vuông góc với nhau lần lượt là $0,2m$ và $1,5m$. Đầu còn lại treo cách trần nhà $0,6m$, cách hai bức tường là $1,8m$ và $1,3m$. Hãy tính độ dài của thanh sắt đó. (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).