Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $2\sqrt{3}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều, cạnh đáy $2a$, cạnh bên (chiều cao) $h=2\sqrt{3}a$.

a) Hình chiếu của $B^{\prime }$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $B$, nên góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\widehat{B^{\prime }AB}$. Ta có $\tan \widehat{B^{\prime }AB}=\frac{B{B}^{\prime }}{AB}=\frac{2\sqrt{3}a}{2a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{B^{\prime }AB}=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. → Sai.

b) $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $A{A}^{\prime }\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $B^{\prime }{C}^{\prime }$ trong đáy. Tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ có đường cao $\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. → Sai.

c) $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$, thể tích $V=S_{ABC}\cdot h=\sqrt{3}{a}^2\cdot 2\sqrt{3}a=6a^3$. → Đúng.

d) Tọa hóa: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(a;\sqrt{3}a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2\sqrt{3}a)$. Vectơ pháp tuyến của $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-6a^2;-2\sqrt{3}{a}^2;2\sqrt{3}{a}^2)$, phương trình mặt phẳng $3x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0$. Khoảng cách từ $A^{\prime }$: $d=\frac{|-\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}a|}{\sqrt{9+3+3}}=\frac{6a}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}a$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101: S S Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\widehat{B^{\prime }AB}$ với $\tan \widehat{B^{\prime }AB}=\frac{2\sqrt{3}a}{2a}=\sqrt{3}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $B^{\prime }{C}^{\prime }$ trong tam giác đều cạnh $2a$, bằng $a\sqrt{3}$, không phải $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABC}=\sqrt{3}{a}^2$, $V=\sqrt{3}{a}^2\cdot 2\sqrt{3}a=6a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa được mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $3x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0$; khoảng cách từ $A^{\prime }(0;0;2\sqrt{3}a)$ là $\frac{6a}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}a$.